הוראת הפונקציות בגישה איכותית

מכיתה ט הילדים באים עם הידע הבא על פונקציות: 

א. פרבולות והקו הישר

ב. קודקוד הפרבולה (לדעתי רוב הספרים לא קוראים לה נקודת קיצון וגם לא נקודת מינימום או מקסימום)

ג. עליה וירידה של הפונקציה

ד. תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה
ה. הזזות אנכיות ואופקיות של הפונקציות

אני מצרפת מצגת מומלצת מאוד של דר' אתי אופנהיים. ממנה למדנו על תהליך הוראה זה. מאז ששמענו אותה בהשתלמות אנחנו בצוות מלמדים באופן כזה ומאוד שמחים על השינוי.
האמונה הבסיסית עליה מבוסס תהליך הלמידה היא בהבניה של הבנה של תלמיד. מצרפת מאמר מעניין מאוד על מהות ההבנה של התלמיד : "אבל המורה, לא הבנתי".

ידע של תהליכים ללא ההבנה העמוקה שלהם אתגרי יותר לזכרון ועלול להביא לטעויות שמאוד קשות לתפיסה.
אני מצרפת סרטון מצחיק על טעויות בחילוק ארוך. כאשר התלמיד זוכר את ביצוע הפעולות האוטומטי, אך לא מבין אותו.

שלב א: רצוי להציג לילדים פונקציות בסיסיות כגון איקס בחזקת 3, שורש, ואחד חלקי איקס , ללא גזירה.
ניתן בשלב הזה לחזור על טרנפורמציות כגון ערך מוחלק והזזות אופקיות ואנכיות שנלמדו בכיתה ט.

כתבתי את התהליך הזה עבור כיתות ט חזקות (כגון עמט או מופת) אך הוא בהחלט מתאים להתחלה של הוראת הפונקציות  בכיתה י.

ישנם 2 שיעורים של מרים גור באתר עדש"ה  " היכרות עם פונקציית שורש" ו " נקודות אי רציפות של פונקציות" שמלמדים את הנושאים האלה בגישה זו, מאוד מומלץ לראות.  בבלוג שלי נקודות אי הרציפות ניתן לראות  הצעה שונה לתהליך שהציגה מרים בשיעור שלה, אך הגישה זהה.

בספר " ללמוד וללמד אנליזה" שבעיני זה ספר מאוד מומלץ לקריאה לכל מורה ישנו פרק " רגע לפני הנגזרת". בפרק זה מוצגת גישה איכותית של הבנת הפונקציה של פולינום.

הנה כמה תרגילים בעקבות הוראת פונקציות שורש בגישה איכותית:
הדפים הוכנו על ידי מרים גור
דף 1
דף 2
דף 3
דף 4

מרים מתמקדת יותר בהזזות אופקיות ואנכיות. אך ניתן בהחלט לדבר גם על הרכבה של פונקציות. כאשר מתבוננים בפונקציה הפנימית בתוך השורש:
אני מצרפת כאן דף שנכתב על ידי פאינה פרצב.

שלב ב: לומדים את חקירת הפונקציות המלאה ללא הנגזרת. כאשר נקודות הקיצון נתונות.
נותנים :
בשלב הראשון ניתן לתת פונקציות ללא האסימפטוטות: דף עבודה 1:

קובץ של תרגילים - חקירת הפונקציה ללא נגזרת

לאחר מכן ללמד אסימפטוטות . אני אדבר על דרך ללמד נקודות אי ההגדרה בבלוג נפרד.
ולאחר מכן לתת דף עבודה שכולל פונקציות עם האסימפטוטות: דף עבודה 2
התמקדות בתרגילים מהסוג הזה מאפשרת קישור לידע קודם, בניית שרטוט נכוןשל הפונקציות ובניית מוטיבציה לבעיות קיצון.
מומלץ לראות את הסרט של אביטל " מבוא לאנליזה" באתר של עדש"ה שבו היא עושה שימוש בבניית הפונקציה כאשר נקודות קיצון נתונות. (החל מהדקה 44 של הסרט)

שלב ג: שליטה באי שוויונים:

מומלץ כבר בכיתה ט להוסיף כמה אי שוויונים של מנה ומכפלה על מנת לעשות זאת. דף השלמה

שימו לב שבתרגיל השני ישבם כמה תרגילים שמתמקדים במצב שבו המכנה או המונה תמיד חיוביים.

בחטיבת ביניים עושים את ההקשר הגרפי לאי שוויונים.

למשל אם תסתכלו ביחידה שמציגה אי שוויונים בכיתה ט מתוך מתמטיקה משולבת : יחידה 25  הכל מקושר לפונקציה של הקו הישר והפרבולה.

לעומת זאת אם תתבוננו בפרק של הספר " בני גורן" הסבר אי שוויונים בע"מ 117-120 וגם לא בע"מ 137-140 אין שימוש בקישור לפונקציות כלל.הכל בעזרת סימון בציר המספרים. לדעתי השינוי הזה והנתק הזה בן חטיבת ביניים וחטיבה עליונה הוא מצער מאוד ואם המורים היו ממשיכים את הקו של חטיבת ביניים גן בתיכון הנעזרים בפונקציות על מנת לפתור אי שוויונים תהליך הלמידה היה נכון יותר, כיוון שהוא היה מקושר לידע קודם.

שלב ד: הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת ללא טכניקת הנגזרת
לאחר שהילדים שולטים באי שוויונים ברמת הדך השלמה, לומדים את המשמעות של הנגזרת, כלומר לא מלמדים את טכניקת הגזירה, אלא רק את המשמעות (גם כאן קיימות כמה אפשרויות, האם מלמדים דרך המשיק ונקודה שמתקרבת לנקודה אחרת, או שמלמדים על ידי המשמעות הפיזיקלית והמהירות הרגעית, אך אני לא הולכת כרגע להתמקד בזה). אחרי שמלמדים את המשמעות מתחילים בשרטוט של הגרף והפונקציה הנגזרת. כלומר בהנתן הפונקציה מה הגרף שלה כנגזרת ואז הפוך: בהנתן הנגזרת מהו גרף הפונקציה. השלב הזו הוא לא קל, וצריך לתת לו זמן ומקום. אך הוא מתגמל מאוד בעתיד. ילד שמבין את הקשר ישלוט מצויין בלשבים הבאים.

אני מצרפת חוברת מצויינת שבנתה המורה אורית כהן על סמך החוברת של מכון ויצמן " מבוא לאנליזה"

ויש גם חוברת דיגיטלית נהדרת

https://www.geogebra.org/m/rrSqU5UR#material/RvEFBkXw

והנה התרגול לקראת מבחן בשיטה זו