מטרת הבלוג ויצירת קשר

מטרת הבלוג היא בעצם לאסוף חומרים שיצרנו בבית הספר שלנו או שחברים יצרו בבי הספר שלהם. לרשום מה החוויות שעברנו כשהעברנו שיעורים בצורה מסויימת או מה הרשמים בעקבות מתכונת או מבחן.

אם יש לכם מבחנים טובים או חומרים מקוריים נא לשלוח למייל yael.adamovsky@gmail.com

אם אתם שולחים מכתב , נא לצרף פתרון מלא ולכתוב בכמה מילים האם המבחן היה טוב, האם הייתם משים משהו, מה היו השגיאות הנפוצות...,

תודה מראש,

יעל

אסימפטוטות בפונקציות לוגריתמיות

בתהליך בניה

הוראת הפונקציות בגישה איכותית

מכיתה ט הילדים באים עם הידע הבא על פונקציות: 

א. פרבולות והקו הישר

ב. קודקוד הפרבולה (לדעתי רוב הספרים לא קוראים לה נקודת קיצון וגם לא נקודת מינימום או מקסימום)

ג. עליה וירידה של הפונקציה

ד. תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה
ה. הזזות אנכיות ואופקיות של הפונקציות

אני מצרפת מצגת מומלצת מאוד של דר' אתי אופנהיים. ממנה למדנו על תהליך הוראה זה. מאז ששמענו אותה בהשתלמות אנחנו בצוות מלמדים באופן כזה ומאוד שמחים על השינוי.
האמונה הבסיסית עליה מבוסס תהליך הלמידה היא בהבניה של הבנה של תלמיד. מצרפת מאמר מעניין מאוד על מהות ההבנה של התלמיד : "אבל המורה, לא הבנתי".

ידע של תהליכים ללא ההבנה העמוקה שלהם אתגרי יותר לזכרון ועלול להביא לטעויות שמאוד קשות לתפיסה.
אני מצרפת סרטון מצחיק על טעויות בחילוק ארוך. כאשר התלמיד זוכר את ביצוע הפעולות האוטומטי, אך לא מבין אותו.

שלב א: רצוי להציג לילדים פונקציות בסיסיות כגון איקס בחזקת 3, שורש, ואחד חלקי איקס , ללא גזירה.
ניתן בשלב הזה לחזור על טרנפורמציות כגון ערך מוחלק והזזות אופקיות ואנכיות שנלמדו בכיתה ט.

כתבתי את התהליך הזה עבור כיתות ט חזקות (כגון עמט או מופת) אך הוא בהחלט מתאים להתחלה של הוראת הפונקציות  בכיתה י.

ישנם 2 שיעורים של מרים גור באתר עדש"ה  " היכרות עם פונקציית שורש" ו " נקודות אי רציפות של פונקציות" שמלמדים את הנושאים האלה בגישה זו, מאוד מומלץ לראות.  בבלוג שלי נקודות אי הרציפות ניתן לראות  הצעה שונה לתהליך שהציגה מרים בשיעור שלה, אך הגישה זהה.

בספר " ללמוד וללמד אנליזה" שבעיני זה ספר מאוד מומלץ לקריאה לכל מורה ישנו פרק " רגע לפני הנגזרת". בפרק זה מוצגת גישה איכותית של הבנת הפונקציה של פולינום.

הנה כמה תרגילים בעקבות הוראת פונקציות שורש בגישה איכותית:
הדפים הוכנו על ידי מרים גור
דף 1
דף 2
דף 3
דף 4

מרים מתמקדת יותר בהזזות אופקיות ואנכיות. אך ניתן בהחלט לדבר גם על הרכבה של פונקציות. כאשר מתבוננים בפונקציה הפנימית בתוך השורש:
אני מצרפת כאן דף שנכתב על ידי פאינה פרצב.

שלב ב: לומדים את חקירת הפונקציות המלאה ללא הנגזרת. כאשר נקודות הקיצון נתונות.
נותנים :
בשלב הראשון ניתן לתת פונקציות ללא האסימפטוטות: דף עבודה 1:

קובץ של תרגילים - חקירת הפונקציה ללא נגזרת

לאחר מכן ללמד אסימפטוטות . אני אדבר על דרך ללמד נקודות אי ההגדרה בבלוג נפרד.
ולאחר מכן לתת דף עבודה שכולל פונקציות עם האסימפטוטות: דף עבודה 2
התמקדות בתרגילים מהסוג הזה מאפשרת קישור לידע קודם, בניית שרטוט נכוןשל הפונקציות ובניית מוטיבציה לבעיות קיצון.
מומלץ לראות את הסרט של אביטל " מבוא לאנליזה" באתר של עדש"ה שבו היא עושה שימוש בבניית הפונקציה כאשר נקודות קיצון נתונות. (החל מהדקה 44 של הסרט)

שלב ג: שליטה באי שוויונים:

מומלץ כבר בכיתה ט להוסיף כמה אי שוויונים של מנה ומכפלה על מנת לעשות זאת. דף השלמה

שימו לב שבתרגיל השני ישבם כמה תרגילים שמתמקדים במצב שבו המכנה או המונה תמיד חיוביים.

בחטיבת ביניים עושים את ההקשר הגרפי לאי שוויונים.

למשל אם תסתכלו ביחידה שמציגה אי שוויונים בכיתה ט מתוך מתמטיקה משולבת : יחידה 25  הכל מקושר לפונקציה של הקו הישר והפרבולה.

לעומת זאת אם תתבוננו בפרק של הספר " בני גורן" הסבר אי שוויונים בע"מ 117-120 וגם לא בע"מ 137-140 אין שימוש בקישור לפונקציות כלל.הכל בעזרת סימון בציר המספרים. לדעתי השינוי הזה והנתק הזה בן חטיבת ביניים וחטיבה עליונה הוא מצער מאוד ואם המורים היו ממשיכים את הקו של חטיבת ביניים גן בתיכון הנעזרים בפונקציות על מנת לפתור אי שוויונים תהליך הלמידה היה נכון יותר, כיוון שהוא היה מקושר לידע קודם.

שלב ד: הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת ללא טכניקת הנגזרת
לאחר שהילדים שולטים באי שוויונים ברמת הדך השלמה, לומדים את המשמעות של הנגזרת, כלומר לא מלמדים את טכניקת הגזירה, אלא רק את המשמעות (גם כאן קיימות כמה אפשרויות, האם מלמדים דרך המשיק ונקודה שמתקרבת לנקודה אחרת, או שמלמדים על ידי המשמעות הפיזיקלית והמהירות הרגעית, אך אני לא הולכת כרגע להתמקד בזה). אחרי שמלמדים את המשמעות מתחילים בשרטוט של הגרף והפונקציה הנגזרת. כלומר בהנתן הפונקציה מה הגרף שלה כנגזרת ואז הפוך: בהנתן הנגזרת מהו גרף הפונקציה. השלב הזו הוא לא קל, וצריך לתת לו זמן ומקום. אך הוא מתגמל מאוד בעתיד. ילד שמבין את הקשר ישלוט מצויין בלשבים הבאים.

אני מצרפת חוברת מצויינת שבנתה המורה אורית כהן על סמך החוברת של מכון ויצמן " מבוא לאנליזה"

ויש גם חוברת דיגיטלית נהדרת

https://www.geogebra.org/m/rrSqU5UR#material/RvEFBkXw

והנה התרגול לקראת מבחן בשיטה זו

התבוננות במרכיבי ההוראה

בפוסט הזה אני רוצה לדבר לא על נושא מתמטי כזה או אחר, אלא על מרכיבי הוראה וכיצד הם נבנים.

אני מצרפת את חלוקת הצבעים של מרכיבי ההוראה:

חלוקה זו מדברת על 5 מרכיבי הוראה.

הצבע החום - המבניות והסדר בשיעור ובתהליך הלמידה בכלל

הצבע הלבן - הינשוף

הבקיאות של המורה בחומר הדעת, השפה המקצועית, הידע הרחב שמעבר לתוכנית הלימודים

הצבע הירוק - מידת היצירתיות והעניין שיש בשיעור

אדום - הסמכות של המורה בכיתה והגבולות

אינני טוענת בשום אופן שאלו המרכיבים היחידים וגם כמובן שאין משמעות גדולה לצבעים ולחיות. מבחינתי זה כלי להתמקד במרכיבים שאני רואה כחשובים.

הגורמים המשפיעים על צבעי השיעור הם:
 1) אופן הצגת החומר החדש שאנו מציגים בכיתה: עד כמה הבניית הידע קשורה לידע הקודם ועד כמה אנחנו שואפים להבנה ולא הנחלת כללים. אני מצרפת מאמר המדבר על  של "הבנה" לעומת " ידע" כתבה ד"ר אפרת פירסט. ככל שנשאף לקישור רב יותר להבנה ומשמעות קודמת שקיימים בתלמידים כך הצגת הדברים תקושר טוב יותר במוח ותאפשר הנאה ומוטיבציה גדולים יותר ואף יצירתיות גדולה יותר.
לדוגמא , כאשר מלמדים פונקציות בתחילת כיתה י, ניתן ללמד נגזרת מיד בתחילת הנושא ולנתח את הפונקציות בעזרתה, אך בכך נחלש הקשר לחומר הקודם. לעומת זאת ניתן ללמד בהקשר מלא ולנתח את הפונקציות בעזרת המושגים הקיימים הקודמים , כפי שכתבתי בבלוג " הוראה איכותית של פונקציות" מאותה סיבה בדיוק, בעיני נכון יותר ללמד נקודות אי רציפות עוד לפני הנגזרת ובצורה שמתחברת למשמעות ללא כללים. ראו בלוג " נקודות אי הרציפות של פונקציות"

מעניין להתבונן בדינמיקה בין התלמידים למורים בשיעורים שהם מבוססי כללים או מבוססי הבניית חומר על ידע קודם. באופן טבעי הסוג הראשון יתאפיין ביותר הוראה פרונטלית כי המורה הוא "נושא הידע", העיקרי. לעומת זאת בשיעורים שהגישה היא על קישור לידע קודם באופן טבעי האינטראקציה עם התלמידים תהיה חלק חשוב מהשיעור על מנת להבין מה הוא הידע הקיים וכיצד ניתן לקשר את הידע החדש לידע הקיים.

2) המשימות שאנו בוחרים לתרגול החומר  ואופן ניתוחם. 
ישנה אפשרות בזמן התרגול פשוט לתת תרגילים שונים מהספר ולעבור עליהם. לעומת זאת ישנה אפשרות להיות מודעים לכמה שיותר נדבכים של אותו הנושא ולתרגל מתוך מודעות לתרגול ולתרומה של אותו התרגיל לנדבך. כאשר המורה לא מודע לנדבכי הנושא או לחילופין מודע אך מעביר את האחריות ללומד נוצר מצב שבו התלמידי םהחזקים אכן מייצרים את ההקשרים הדרושים (כםי שכתבה על כך דר פירסט) אך התלמידים החלשים נותרים מאחור ללא יכולת עצמית לבנות את ההקשר הדרוש.  אני מצרפת קטע מתוך ספרו של פרופ' רון אהרוני. הקטע מקשר בין הבנה מעורפלת בשירה ובמתמטיקה וחשוב מאוד לכל מי שעוסק בהוראה.

בנוסף מאוד כדאי לחזור על מרכיבי החומר בהזדמנויות שונות. בתחילת כל שיעור לחזור על מרכיבים מהשיעור הקודם או אחד לפני. לתת תרגיל אחד או שניים כפתיח לשיעור. במיוחד בשאלון כמו 807 שהחלק הנכבד של הקושי שלו הוא שהנושאים הם מופשטים והקישור לידע הקיים הוא מוגבל יותר מאשר שאלון 806. לכן התרגול הנדרש הוא מסוג שונה במקצת. כל הזמן לתרגל גם את הכללים, בצורה ספירלית. 

נקודות אי הרציפות - כיתה י

בתהליך בנייה:

אני רוצה לדבר על הוראת נקודות אי הרציפות. אסימפטוטות אופקיות, אנכיות וחורים.

כשמתחילים את תהליך ההוראה של האסימפטוטות נשאלת השאלה: מה התליך הבנייה היעיל והברור ביותר להבנה.
האם להתחיל באסימפטוטות אופיות?
האם באסימפטוטות אנכיות? באיזה שלב לשלב את החור?
האם להשתמש בכללים כגון : אם הנקודה מאפסת רק את המכנה ולא את המונה, אז היא אסימפטוטה אנכית?
או להסביר את תהליך השאיפה ולהקדיש זמן ומאמצים לכך.

אני מאמינה שחייבים להקדיש זמן לשאיפה ולהסביר את המשמעות של האסימפטוטות. זאת מכיוון שתהליך של הבנה תמיד טוב יותר מתהליך של זכרון כללים.
אני מציעה כאן פתיחת נושא של האסימפטוטות (שיעור ראשון)

מהספר של " ללמוד וללמד אנליזה".

אסימפטוטות

אני מצרפת כאן תהליך של שיעור ראשון שבנינו יחד כצוות בבית הספר ערוני ב במודיעין. המורות זהבית מלין, אורית גחטמן הרכזת ואני. ישבנו יחד על התהליך ושיפרנו אותו כמה וכמה פעמים. לבסוף זהבית העבירה את השיעור בכיתתה ואנחנו צפינו.
במהלך ההכנה הבנו שהתהליך שמצד אחד חשוב לנו להראות לילדים את טבלת הערכים ואת השאיפה לאינסוף או למינוס אינסוף או לגבול. מצד שני ההצבות בכל תאכיל מעיקות והילדים עלולים לאבד את הפוקוס. לכן זהבית הכינה מצגת, על מנת לרכז את התהליך.
מצגת אסימפטוטה אנכית

וקטורים שרה קירו

אני מצרפת מערכים של וקטורים של שרה קירו שאני מאוד אוהבת. יש משהו חדשני ומיוחד בצורה שבה היא מציגה את הוקטור האלגברי. אני לעתים קרובות חוזרת למערכים אלו ומוצאת תרגולים יפים ומיוחדים לכל שלב בנושא.

מומלץ!

קובץ 1: הצגת הוקטורים חיבור וחיסור ביניהם

קובץ 2: אורך הוקטור וכפל בסקלר

קובץ 3: צירוף ליניארי

קובץ 4: הוקטור האלגברי

קובץ 5: המכפלה הסקלרית

קובץ 6:ישר במרחב זוויות ומרחקים

עקרונות שטח - כיתה י

כאשר מלמדים שטחים ניתן לדבר על 3 עקרונות שטח.

עקרונות אלו לא ניתנים לציטוט בבחינת הבגרות, אבל הם מעין "כלים" לחשיבה כאשר באים לפתור שאלות.

עקרון 1: 

יחס השטחים של 2 משולשים בעלי אותו בסיס הוא כיחס הגבהים שלהם. 
דוגמא:

כאשר ישנם 2 ישרים מקבילים אזי, אם בסיס המשולש נמצא על אחד הישרים , והקודקוד "מטייל" על הישר השני, כל המשולשים שנוצרים באופן הזה הם שווי שטח. עיקרון זה נכון כיוון שהגובה נשמר.

עקרון 2: 

יחס השטחים של 2 משולשים בעלי אותו גובה הוא כיחס הבסיסים שלהם. 
דוגמא:

כאשר  במשולש יש קו ישר שיוצא מאחד הקודקודים ומחלק את הצלע שמול הקודקוד, היחס שבין שקטעי החלוקה של הקטע, הוא היחס שבין המשולשים הפנימיים הנוצרים באופן הזה. (מקרה פרטי של משפט זה מוכר לנו מהחטיבה " התיכון מחלק את המשולש ל2 משולים שווי שטח). עקרון זה נכון כיוון שהגובה נשמר.

עקרון 3: (שהוא גם משפט) 

יחס השטחים של המשולשים הדומים הוא כיחס הדמיון בריבוע

חומרים נוספים בקשר לנושא:
דף נפלא של מכון ויצמן "מצויינות רחובות". הדף בנוי בשיטת חקירה ועוסק בחוצי זווית ותיכונים בהקשר של יחס השטחים.
הדף של ויצמן

דף לתלמיד על משפט תאלס של מרכז המורים שבנוי לעבודה בקבוצות בכיתה הטרוגנית
בנוסף דף למורה שמסביר את הדף לתלמיד

2 שיעורים יפים מאוד שמדגימים את עקרונות השטח מופיעים באתר של עדשה. אתר זה מדגים שיעורים של מורים שונים בכיתות שלהם . האתר מאוד מומלץ:

עדשה

שיעור אחד הוא "השיעור היפני: "שינוי צורה ללא שינוי שטח"

השיעור השני הוא שיעור של שרה קירו." יחסי השטחים במשולשים"

כמו כן יש 2 דפי סיכום יפים של הוצאת "ארכימדס":

תרגול שטח תאלס ודמיון 1

תרגול שטח תאלס ופתגורס 2