מבחן 1 של פתיחת שנה. המבחן היה על עבודת הקיץ. שאלה 3 היא שאלה מיוחדת עבור כיתת עמט שלמדה פונקציות בהרחבה בכיתה ט. 2 השאלות הראשונות משותפות לכל השכבה. שאלה אחרונה מתאימה גם לשכבה.

שאלה 1 היא שאלה טובה לפישוט הביטויים האלגבריים. המכנה של הגורם המכפלה השני לא ניתן לפרק לגורמים נוחים ולכן מצופה מהתלמיד פשוט להשאיר אותו ולצמצם בסוף. תחום ההצבה כאן מעניין. בכלל אותו גורם שלא ניתן לפירוק נוח, יש מספר אי רציונלי בתחום ההצבה.
פתרון שאלה 1

שאלה 2: שאלה מאוד טובה שבודקת כמה וכמה דברים.
א. קודם כל יש כאן נטייה ללכת לכיוון המשפט: " תיכון במשולש ישר זווית שווה למחצית היתר". אלא שאין כאן תיכון. הדרך הפשוטה כאן היא משחק הזוויות. כאשר נבחנת הראייה של זוויות מתחלפות ומתאימות בין ישרים מקבילים.
בסעיף האחרון ניתן לדבר על הדרכים השונות להוכיח מלבן: מרובע שאלכסוניו חוצים שווים או מקבילית שאלכסוניה שווים. או מקבילית עם זווית ישרה אחת. גם מקבילית ניתן להוכיח כאן בדרכים שונות ומגוונות.
פתרון שאלה 2:

שאלה 3: שאלה זו היא שאלה מיוחדת לכיתות עמט. כאן ההנחה היא שהתלמידים כבר למדו לחקור פונקציות ללא הנגזרת. הם מכירים אסימפטוטות וחורים עליה וירידה.
פתרון שאלה 3

שאלה 4: שאלה טובה בבעיות מילוליות. הטעויות המרכזיות שהיו זה אי העברה ליחידות של שעה. (ואז 2 שהוא קמ"ש ) לא מסתדר. וגם הוספה או הורדה לאגף הלא נכון.
ניתן לדון כאן האם רוצים לפתור בעזרת משתנה אחד או בעזרת 2 משתנים. ייתרונות וחסרונות.
פתרון שאלה 4:

מבחן 2: 21.10
חומר למבחן
המבחן
מבחן מבית ספר אחר עם חומר דומה לשלנו
מבחן ראשון של המורה אורית כהן עם חומר דומה לשלנו

מבחן 3: דצמבר-ינואר

חומר למבחן

מבחן 3: מבית ספר אחר. כולל משפט תאלס, חוצה זווית, אי שוויונים
מבחן דצמבר שנים קודמות
מועד ב למבחן דצמבר
מבחן ינואר משנים קודמות

מבחן 3 שנתנו בפועל
כאן גרסת המבחן עבור המורה (כוללת ניקוד ופתרונות)
הנה הפתרון של המבחן
וכאן סיכום הטעויות שהיו במבחן

הרושם הכללי:
שאלה ראשונה: קשה כיוון שהישר לא מסודר. כדאי לתת בתחילת שנה ישרים לא מסודרים עם פרמטרים.
שאלה שניה: בסדר גמור.
שאלה שלישית: גיאומרטיה. לא קשה בכלל
שאלה רביעית: היתה להם קשה. למשל עוד לא התרגלו לחשיבה שניתן למצוא זוויות רק על פי היחסים.

חקירת פולינום מעניינת:
כאשר לומדים חקירת פולינום, כדאי לדבר על הפונקציה במעלה השלישית באופן כללי:
לגזור את הפונקציה , לדבר על המאפיינים של הפרבולה ולהבין מכך מה הצורות האפשריות לפונקציה בשלישית.
לאחר מכן אפשר לעשות את הדף הבא. הדף נבנה על ידי המורה אייל מהישיבה התיכונית במודיעין (סליחה ששכחתי את שם המשפחה). הדף מדבר על משפחות שונות של פונקציות מחזקה שלישית.

מועד ב עבור מבחן 3
המבחן היה קל יותר ממועד א בחלק של הפונקציות וקצת קשה יותר בחלק של הגיאומטריה.
בשאלה הטריגו לא היתה תשובה חד משמעית. ניתן לחשב את הזוויות לפי צלעות שונות ואז מתקבלות זוויות שונות. סימן שהמשולש לא בנוי טוב.

פתרון עבור מועד ב מבחן 3

מבחן 3 מערוני ה עם פתרון באדיבות המורים ארי ושי

מבחן 4 - חקירת פולינום וגיאומטריה עד המעגל
פתרון המבחן
המבחן היה מצויין. בנוי וב ובודק הרבה מרכיבים

עבודת סיכום בגיאומטריה
עבודת סיכום פולינומים
עבודת סיכום פולינומים 2

אחרי המבחן הרביעי אנחנו נמצאים בסוף פברואר.
מכאן ממשיכים בנושאים הבאים:
1. מעגל בגיאומטריה
2. פונקציה רציונלית בפונקציות (מתחילים באחד חלקי איקס)
3. מעגל היחידה , פונקציות טריגונומטריות, משוואות וזהויות בטריגו

אינטגרלים:
אם מגיעים להוראת אינטגרלים, יש כאן דף שעובד בגישה איכותנית
וחוקר אינטגרליפ בעקבות שאלה שהיתה ב2018

אי רציפות

אני רוצה לדבר על הוראת נקודות אי הרציפות. אסימפטוטות אופקיות, אנכיות וחורים.

כשמתחילים את תהליך ההוראה של האסימפטוטות נשאלת השאלה: מה התליך הבנייה היעיל והברור ביותר להבנה.
האם להתחיל באסימפטוטות אופיות?
האם באסימפטוטות אנכיות? באיזה שלב לשלב את החור?
האם להשתמש בכללים כגון : אם הנקודה מאפסת רק את המכנה ולא את המונה, אז היא אסימפטוטה אנכית?
או להסביר את תהליך השאיפה ולהקדיש זמן ומאמצים לכך.

אני מאמינה שחייבים להקדיש זמן לשאיפה ולהסביר את המשמעות של האסימפטוטות. זאת מכיוון שתהליך של הבנה תמיד טוב יותר מתהליך של זכרון כללים.
אני מציעה כאן פתיחת נושא של האסימפטוטות (שיעור ראשון)

מהספר של " ללמוד וללמד אנליזה".

אסימפטוטות

אני מצרפת כאן תהליך של שיעור ראשון שבנינו יחד כצוות בבית הספר ערוני ב במודיעין. המורות זהבית מלין, אורית גחטמן הרכזת ואני. ישבנו יחד על התהליך ושיפרנו אותו כמה וכמה פעמים. לבסוף זהבית העבירה את השיעור בכיתתה ואנחנו צפינו.
במהלך ההכנה הבנו שהתהליך שמצד אחד חשוב לנו להראות לילדים את טבלת הערכים ואת השאיפה לאינסוף או למינוס אינסוף או לגבול. מצד שני ההצבות בכל תאכיל מעיקות והילדים עלולים לאבד את הפוקוס. לכן זהבית הכינה מצגת, על מנת לרכז את התהליך.
מצגת אסימפטוטה אנכית

דפים של תרגול שורשים - מבוריס

Friday, February 2, 2018

806 בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון ללא הנגזרת

בעיות מילוליות הספק מאמר של אביטל

בעיות מילוליות של יניב סופן ופאינה ממועדון ה5
בעיות מילוליות סיפורי פוגי

https://www.youtube.com/watch?v=iqONnGftrWY

יש גם שיר טוב של יהודה עמיחי:
ספר לימוד החשבון:

יהודה עמיחי/ שיר 10 -ספר לימוד החשבון-

אֲנִי זוֹכֵר שְׁאֵלָה בְּסֵפֶר לִמּוּד הַחֶשְׁבּוֹן,
עַל רַכֶּבֶת שֶׁיּוֹצֵאת מִמָּקוֹם אֶחָד וְרַכֶּבֶת אַחֶרֶת
שֶׁיּוֹצֵאת מִמָּקוֹם אַחֵר. מָתַי יִפָּגְשׁוּ?
וְאַף אֶחָד לֹא שָׁאַל מָה יִקְרֶה כַּאֲשֶׁר יִפָּגְשׁוּ,
אִם יַעַצְרוּ אוֹ יַעַבְרוּ אַחַת עַל פְּנֵי הַשְּׁנִיָּה וְאוּלַי יִתְנַגְּשׁוּ.
וְלֹא הָיְתָה שְׁאֵלָה עַל אִישׁ שֶׁיּוֹצֵא מִמָּקוֹם אֶחָד
וְאִשָּׁה שֶׁיּוֹצֵאת מִמָּקוֹם אַחֵר. מָתַי יִפָּגְשׁוּ
וְהַאִם בִּכְלָל יִפָּגְשׁוּ וּלְכַמָּה זְמַן יִפָּגְשׁוּ?
וּבִדְבַר סֵפֶר לִמּוּד הַחֶשְׁבּוֹן. עַכְשָׁו הִגַּעְתִּי
אֶל הָעַמּוּדִים הָאַחֲרוֹנִים שֶׁבָּהֶם רְשִׁימַת הַפִּתְרוֹנוֹת.
וְאָז הָיָה אָסוּר לְהִסְתַּכֵּל בָּהֶם וּלְהִשְׁתַּמֵּשׁ בָּהֶם.
עַכְשָׁו מֻתָּר. עַכְשָׁו אֲנִי בּוֹדֵק
בַּמֶּה צָדַקְתִּי וּבַמֶּה טָעִיתִי
וְיוֹדֵעַ מֶה עָשִׂיתִי נָכוֹן וּמָה לֹא עָשִׂיתִי. אָמֵן.

בעיות מילוליות מצגת יפה הפותרת בדרכים שונות

Friday, May 12, 2017

רשימה אלטרנטיבית למשפטים בגיאומטריה

כתבתי את הרשימה הזו כיוון שקודם כל ברשימה המקורית היו חסרים כמה משפטים שנלמדו בחטיבת ביניים ולפי חוזר מפמ"ר ניתנים לציטוט בבגרות. דבר שני שהפריע לי זה שההגדרות לא נכללו במשפטים ואף על פי שאני מבינה את ההגיון המתמטי, מבחינה דידקטית היה מאוד לא נוח לתלמידים לחזור על המפשטים ללא ההגדרות. והדבר האחרון שהפריע היה הסדר של המשפטים. לכן כתבתי רשימה אלטרינטיבית שלמיטב הבנתי ניתנת כולה לציטוט בבגרות ונוחה יותר להוראה.

רשימת משפטים בגיאומטריה

האסמכתא לכך שניתן להשתמש במשפטים של חטיבת ביניים בבחינת הבגרות היא המסמך הבא שנמצא באתר המפמר
שימו לב שכתוב בו במפורש שכל המשפטים שנלמדים בחטיבת ביניים ניתנים לשימוש בהיבחנות בחטיבה העליונה

כתבתי גם רשימה עם פחות שינויים. הכנסתי בה רק את ההגדרות ואת המשפטים מתוך המסמך של חטיבות ביניים.
מה שמסומן בסוגריים (ה) זה הגדרות. מה שמסומן (ר) זה מתוך הרשימה הקיימת. ומה שמסומן (ל) זה אומנם לא קיים ב104 משפטים אבל לא הגיוני שלא יקבלו את זה בבגרות (לפחות לפי ההגיון שלי)

Tuesday, May 9, 2017

מבוא לנגזרת בעיני התלמיד

התהליך הבא נוצר על ידי התלמיד של כיתה ט ניצן גלזר. התלמיד הזה השתתף בתוכנית "אקדמיה בתיכון" ואמר שיש לו רעיון שלדעתו יפה ומקורי ללמד את המבוא לנגזרת. כיוון שבכיתה ט מותר לתלמידים להציג נושאים שהם רוצים נתתי לו להציג את הנושא (למרות שהוא לא נלמד בכיתה ט).

התלמיד מקשר בין הנגזרת למהירות הרגעית ולדעתי עושה את זה יפה מאוד. יש לציין שהכיתה היא כיתת עמט והיא לומדת פיזיקה ומכירה את הנוסחאות הבסיסיות שהתלמיד מסתמך עליהם.

הנה המהלך שהוא הציג

אינני יודעת האם המערך מתאים לכל כיתה, והאם כדאי לעשות בו התאמות מיוחדות, מה שכן, השיעור עבר באווירה מאוד טובה, והיה ברור לתלמידים מה המוטיבציה.

Saturday, April 22, 2017

הוראת הפונקציות בגישה איכותית

מכיתה ט הילדים באים עם הידע הבא על פונקציות:

א. פרבולות והקו הישר

ב. קודקוד הפרבולה (לדעתי רוב הספרים לא קוראים לה נקודת קיצון וגם לא נקודת מינימום או מקסימום)

ג. עליה וירידה של הפונקציה

ד. תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה
ה. הזזות אנכיות ואופקיות של הפונקציות

אני מצרפת מצגת מומלצת מאוד של דר' אתי אופנהיים. ממנה למדנו על תהליך הוראה זה. מאז ששמענו אותה בהשתלמות אנחנו בצוות מלמדים באופן כזה ומאוד שמחים על השינוי.
האמונה הבסיסית עליה מבוסס תהליך הלמידה היא בהבניה של הבנה של תלמיד. מצרפת מאמר מעניין מאוד על מהות ההבנה של התלמיד : "אבל המורה, לא הבנתי".

ידע של תהליכים ללא ההבנה העמוקה שלהם אתגרי יותר לזכרון ועלול להביא לטעויות שמאוד קשות לתפיסה.
אני מצרפת סרטון מצחיק על טעויות בחילוק ארוך. כאשר התלמיד זוכר את ביצוע הפעולות האוטומטי, אך לא מבין אותו.

שלב א: רצוי להציג לילדים פונקציות בסיסיות כגון איקס בחזקת 3, שורש, ואחד חלקי איקס , ללא גזירה.
ניתן בשלב הזה לחזור על טרנפורמציות כגון ערך מוחלק והזזות אופקיות ואנכיות שנלמדו בכיתה ט.

כתבתי את התהליך הזה עבור כיתות ט חזקות (כגון עמט או מופת) אך הוא בהחלט מתאים להתחלה של הוראת הפונקציות בכיתה י.

ישנם 2 שיעורים של מרים גור באתר עדש"ה " היכרות עם פונקציית שורש" ו " נקודות אי רציפות של פונקציות" שמלמדים את הנושאים האלה בגישה זו, מאוד מומלץ לראות. בבלוג שלי נקודות אי הרציפות ניתן לראות הצעה שונה לתהליך שהציגה מרים בשיעור שלה, אך הגישה זהה.

בספר " ללמוד וללמד אנליזה" שבעיני זה ספר מאוד מומלץ לקריאה לכל מורה ישנו פרק " רגע לפני הנגזרת". בפרק זה מוצגת גישה איכותית של הבנת הפונקציה של פולינום.

הנה כמה תרגילים בעקבות הוראת פונקציות שורש בגישה איכותית:
הדפים הוכנו על ידי מרים גור
דף 1
דף 2
דף 3
דף 4

מרים מתמקדת יותר בהזזות אופקיות ואנכיות. אך ניתן בהחלט לדבר גם על הרכבה של פונקציות. כאשר מתבוננים בפונקציה הפנימית בתוך השורש:
אני מצרפת כאן דף שנכתב על ידי פאינה פרצב.

שלב ב: לומדים את חקירת הפונקציות המלאה ללא הנגזרת. כאשר נקודות הקיצון נתונות.
נותנים :
בשלב הראשון ניתן לתת פונקציות ללא האסימפטוטות: דף עבודה 1:

קובץ של תרגילים - חקירת הפונקציה ללא נגזרת

לאחר מכן ללמד אסימפטוטות . אני אדבר על דרך ללמד נקודות אי ההגדרה בבלוג נפרד.
ולאחר מכן לתת דף עבודה שכולל פונקציות עם האסימפטוטות: דף עבודה 2
התמקדות בתרגילים מהסוג הזה מאפשרת קישור לידע קודם, בניית שרטוט נכוןשל הפונקציות ובניית מוטיבציה לבעיות קיצון.
מומלץ לראות את הסרט של אביטל " מבוא לאנליזה" באתר של עדש"ה שבו היא עושה שימוש בבניית הפונקציה כאשר נקודות קיצון נתונות. (החל מהדקה 44 של הסרט)

שלב ג: שליטה באי שוויונים:

מומלץ כבר בכיתה ט להוסיף כמה אי שוויונים של מנה ומכפלה על מנת לעשות זאת. דף השלמה

שימו לב שבתרגיל השני ישבם כמה תרגילים שמתמקדים במצב שבו המכנה או המונה תמיד חיוביים.

בחטיבת ביניים עושים את ההקשר הגרפי לאי שוויונים.

למשל אם תסתכלו ביחידה שמציגה אי שוויונים בכיתה ט מתוך מתמטיקה משולבת : יחידה 25 הכל מקושר לפונקציה של הקו הישר והפרבולה.

לעומת זאת אם תתבוננו בפרק של הספר " בני גורן" הסבר אי שוויונים בע"מ 117-120 וגם לא בע"מ 137-140 אין שימוש בקישור לפונקציות כלל.הכל בעזרת סימון בציר המספרים. לדעתי השינוי הזה והנתק הזה בן חטיבת ביניים וחטיבה עליונה הוא מצער מאוד ואם המורים היו ממשיכים את הקו של חטיבת ביניים גן בתיכון הנעזרים בפונקציות על מנת לפתור אי שוויונים תהליך הלמידה היה נכון יותר, כיוון שהוא היה מקושר לידע קודם.

שלב ד: הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת ללא טכניקת הנגזרת
לאחר שהילדים שולטים באי שוויונים ברמת הדך השלמה, לומדים את המשמעות של הנגזרת, כלומר לא מלמדים את טכניקת הגזירה, אלא רק את המשמעות (גם כאן קיימות כמה אפשרויות, האם מלמדים דרך המשיק ונקודה שמתקרבת לנקודה אחרת, או שמלמדים על ידי המשמעות הפיזיקלית והמהירות הרגעית, אך אני לא הולכת כרגע להתמקד בזה). אחרי שמלמדים את המשמעות מתחילים בשרטוט של הגרף והפונקציה הנגזרת. כלומר בהנתן הפונקציה מה הגרף שלה כנגזרת ואז הפוך: בהנתן הנגזרת מהו גרף הפונקציה. השלב הזו הוא לא קל, וצריך לתת לו זמן ומקום. אך הוא מתגמל מאוד בעתיד. ילד שמבין את הקשר ישלוט מצויין בלשבים הבאים.

אני מצרפת חוברת מצויינת שבנתה המורה אורית כהן על סמך החוברת של מכון ויצמן " מבוא לאנליזה"

ויש גם חוברת דיגיטלית נהדרת

https://www.geogebra.org/m/rrSqU5UR#material/RvEFBkXw

והנה התרגול לקראת מבחן בשיטה זו

Wednesday, April 19, 2017

עקרונות שטח - כיתה י

כאשר מלמדים שטחים ניתן לדבר על 3 עקרונות שטח.

עקרונות אלו לא ניתנים לציטוט בבחינת הבגרות, אבל הם מעין "כלים" לחשיבה כאשר באים לפתור שאלות.

עקרון 1:

יחס השטחים של 2 משולשים בעלי אותו בסיס הוא כיחס הגבהים שלהם.
דוגמא:

כאשר ישנם 2 ישרים מקבילים אזי, אם בסיס המשולש נמצא על אחד הישרים , והקודקוד "מטייל" על הישר השני, כל המשולשים שנוצרים באופן הזה הם שווי שטח. עיקרון זה נכון כיוון שהגובה נשמר.

עקרון 2:

יחס השטחים של 2 משולשים בעלי אותו גובה הוא כיחס הבסיסים שלהם.
דוגמא:

כאשר במשולש יש קו ישר שיוצא מאחד הקודקודים ומחלק את הצלע שמול הקודקוד, היחס שבין שקטעי החלוקה של הקטע, הוא היחס שבין המשולשים הפנימיים הנוצרים באופן הזה. (מקרה פרטי של משפט זה מוכר לנו מהחטיבה " התיכון מחלק את המשולש ל2 משולים שווי שטח). עקרון זה נכון כיוון שהגובה נשמר.

עקרון 3: (שהוא גם משפט)

יחס השטחים של המשולשים הדומים הוא כיחס הדמיון בריבוע

חומרים נוספים בקשר לנושא:
דף נפלא של מכון ויצמן "מצויינות רחובות". הדף בנוי בשיטת חקירה ועוסק בחוצי זווית ותיכונים בהקשר של יחס השטחים.
הדף של ויצמן

דף לתלמיד על משפט תאלס של מרכז המורים שבנוי לעבודה בקבוצות בכיתה הטרוגנית
בנוסף דף למורה שמסביר את הדף לתלמיד

2 שיעורים יפים מאוד שמדגימים את עקרונות השטח מופיעים באתר של עדשה. אתר זה מדגים שיעורים של מורים שונים בכיתות שלהם . האתר מאוד מומלץ:

עדשה

שיעור אחד הוא "השיעור היפני: "שינוי צורה ללא שינוי שטח"

השיעור השני הוא שיעור של שרה קירו." יחסי השטחים במשולשים"

כמו כן יש 2 דפי סיכום יפים של הוצאת "ארכימדס":

תרגול שטח תאלס ודמיון 1

תרגול שטח תאלס ופתגורס 2

לומדים 5 יחידות מתמטיקה

Tuesday, August 20, 2019

תוכנית הוראה 5 יח"ל 571 כיתה י

שנת 2024-2025

משאבי הוראה מצויינים - כולל משחקים

פונקציות:

קדם אנליזה

פונקציית שורש:

טעויות נפוצות:

גיאומטריה:

הסתברות

מבחנים

מבחנים 2025

שנת 2024

שנת 2023

שנה 2021: